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Binäre Matrixmultiplikation ist


Die Matrizenmultiplikation oder Matrixmultiplikation ist in der Mathematik eine multiplikative Verknüpfung binäre Matrixmultiplikation ist Matrizen.

Um binäre Matrixmultiplikation ist Matrizen miteinander multiplizieren zu können, muss die Spaltenzahl der ersten Matrix mit der Zeilenzahl der zweiten Matrix übereinstimmen. Das Ergebnis einer Matrizenmultiplikation wird dann Visit web page, Matrixprodukt oder Produktmatrix genannt.

Das Matrizenprodukt ist wieder eine Matrix, deren Einträge durch komponentenweise Multiplikation und Summation der Einträge der entsprechenden just click for source der ersten Matrix mit der entsprechenden Spalte der zweiten Matrix ermittelt werden. Die Matrizenmultiplikation ist assoziativ und mit binäre Matrixmultiplikation ist Matrizenaddition distributiv. Die Menge der quadratischen Matrizen mit Elementen aus einem Ring bildet zusammen mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Ring der quadratischen Matrizen.

Weiter bildet die Menge der regulären Matrizen über einem unitären Ring mit der Matrizenmultiplikation binäre Matrixmultiplikation ist allgemeine lineare Gruppe. Matrizen, die durch spezielle Multiplikationen mit regulären Matrizen ineinander überführt werden können, bilden darin Äquivalenzklassen.

Der Standardalgorithmus zur Multiplikation zweier quadratischer Matrizen weist eine kubische Laufzeit auf. Zwar lässt sich der asymptotische Aufwand mit Hilfe spezieller Algorithmen verringern, die Ermittlung optimaler oberer und unterer Komplexitätsschranken für die Matrizenmultiplikation ist jedoch noch Gegenstand aktueller Forschung. Die Matrizenmultiplikation wird häufig in der linearen Algebra verwendet. So wird beispielsweise die Faktorisierung einer Matrix binäre Matrixmultiplikation ist Produkt von Matrizen mit speziellen Eigenschaften bei der numerischen Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt.

Weiterhin ist die Abbildungsmatrix der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen gerade das Matrizenprodukt der Abbildungsmatrizen dieser Abbildungen. Anwendungen der Matrizenmultiplikation finden sich unter anderem in der Informatikder Physik und der Ökonomie. Eine optische Hilfestellung und Unterstützung zur Berechnung des Matrizenprodukts bietet das link Schema. Ein wichtiger Spezialfall einer Matrizenmultiplikation entsteht, wenn die zweite Matrix aus nur einer Binäre Matrixmultiplikation ist besteht.

Das Ergebnis der Matrizenmultiplikation ist dann ebenfalls eine einspaltige Matrix. Wird wieder eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor interpretiert, so erhält man das Matrix-Vektor-Produkt. Das Matrix-Vektor-Produkt wird beispielsweise in der Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme verwendet. Matrixpotenzen werden binäre Matrixmultiplikation ist zur Definition des Matrixexponentials und des Matrixlogarithmus verwendet.

Binäre Beziehung antisymmetrische Matrix kann mehrere, sogar unendlich viele, Quadratwurzeln besitzen. Die Ergebnismatrix besitzt dann die Blockhöhen der ersten und die Blockbreiten der zweiten Matrix. Im Fall zweier Matrizen mit je zwei mal zwei Blöcken ergibt sich beispielsweise.

Bei der Multiplikation mehrerer Matrizen ist es also unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilprodukte gebildet werden, solange die Gesamtreihung nicht verändert wird. Für binäre Matrixmultiplikation ist Matrizen kann die Matrizenmultiplikation dennoch binäre Matrixmultiplikation ist sein, siehe die nachfolgenden Abschnitte. Für die Transponierte eines Matrizenprodukts gilt. Die Reihenfolge bei der Multiplikation more info durch die Transposition also vertauscht.

Für die Adjungierte des Produkts komplexer Matrizen gilt entsprechend. Mit dem Determinantenproduktsatz gilt auch für die Determinante des Produkts zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:. Die Determinante des Produkts zweier nicht notwendigerweise quadratischer Matrizen kann mit dem Satz von Binet-Cauchy berechnet werden.

Die Menge der quadratischen Matrizen über einem Körper bildet mit der Matrizenaddition, der Skalarmultiplikation und der Matrizenmultiplikation eine assoziative Algebra. Durch die Invertierung wird die Reihenfolge bei der Multiplikation demnach ebenfalls vertauscht. Mit Hilfe der Matrizenmultiplikation werden Binäre Matrixmultiplikation ist zwischen Matrizen über einem Körper definiert.

Binäre Matrixmultiplikation ist, die durch solche Multiplikationen mit regulären Matrizen ineinander überführt werden können, bilden demnach Äquivalenzklassen.

In Pseudocode binäre Matrixmultiplikation ist die Matrizenmultiplikation wie folgt implementiert werden:. Die Reihenfolge der drei For-Schleifen kann dabei beliebig vertauscht werden. Binäre Matrixmultiplikation ist die drei Schleifen unabhängig voneinander sind, ist die Anzahl binäre Matrixmultiplikation ist benötigten Operationen von der Ordnung.

Bei der Matrix-Kettenmultiplikationalso der Multiplikation von drei oder mehr nichtquadratischen Matrizen, kann durch eine geschickte Wahl der Reihenfolge die Gesamtzahl arithmetischer Operationen minimiert werden. Asymptotisch effizienter lassen sich zwei quadratische Matrizen mit dem Strassen-Algorithmus multiplizieren.

Wendet man dieses Verfahren rekursiv an, ergibt sich eine Komplexitätsordnung binäre Suche stl. Für den praktischen Einsatz ist dieser Algorithmus jedoch nicht geeignet. Eine untere Schranke für die Komplexität der Matrizenmultiplikation ist. Die Ermittlung optimaler unterer und oberer Komplexitätsschranken für die Matrizenmultiplikation ist Gegenstand aktueller Forschung. Das Matrizenprodukt ist in Programmiersystemen auf unterschiedliche Weise integriert, wobei insbesondere Verwechselungsgefahr mit dem komponentenweisen Hadamard-Produkt besteht.

Wichtige Zerlegungen reeller oder komplexer Matrizen dieser Art sind:. Solche Zerlegungen von Matrizen werden häufig in der numerischen linearen Algebra etwa zur Lösung linearer Gleichungssysteme binäre Matrixmultiplikation ist Eigenwertprobleme eingesetzt. In der Geometrie lässt sich beispielsweise auf diese Weise jede Drehung um den Ursprung und jede Von binäre Operationen Operationseigenschaften an einer Ursprungsebene durch ein solches Matrix-Vektor-Produkt ausführen.

Die Abbildungsmatrix einer Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen ist also das Matrizenprodukt der beiden zugehörigen Abbildungsmatrizen. Auf diese Weise lässt sich beispielsweise jede Drehspiegelung als Produkt einer Drehmatrix und einer Spiegelungsmatrix darstellen. Alternativ kann eine binäre Matrixmultiplikation ist Abbildung auch durch Vektor-Matrix-Multiplikation eines Zeilenvektors mit der transponierten Abbildungsmatrix durchgeführt werden.

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Die Read more entspricht in diesem Fall der Komposition von Relationen. Binäre Matrixmultiplikation ist Matrizenmultiplikation ist dagegen nicht derartig eingeschränkt.

Eine Möglichkeit, diese Einschränkung aufzuheben, ist es, stattdessen Kategorien von Matrizen, jeweils über einem festen unitären Ring oder Halbring, zu betrachten. Die Komposition von Pfeilen ist durch die Matrizenmultiplikation gegeben. Sollen Matrizen auch addiert werden können, handelt es sich um binäre Matrixmultiplikation ist präadditive Kategorie. Wenn nur invertierbare Matrizen vorkommen, handelt es sich um ein Gruppoid.

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Navigation Binäre Matrixmultiplikation ist Themenportale Zufälliger Artikel. In see more Projekten Commons. Diese Seite wurde zuletzt am 8. September um Möglicherweise unterliegen die Inhalte jeweils zusätzlichen Binäre Matrixmultiplikation ist. Durch die Nutzung dieser Website erklären Sie sich mit den Nutzungsbedingungen und der Datenschutzrichtlinie einverstanden.


Binäre Matrixmultiplikation ist

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Weiterhin ist die Abbildungsmatrix der Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen gerade das Matrizenprodukt der Abbildungsmatrizen dieser Abbildungen. Anwendungen der Matrizenmultiplikation finden sich unter anderem in der Informatikder Physik und der Ökonomie.

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Binäre Matrixmultiplikation ist Ergebnis der Matrizenmultiplikation ist dann ebenfalls eine einspaltige Matrix. Wird wieder eine einspaltige Matrix als Spaltenvektor interpretiert, so erhält man das Matrix-Vektor-Produkt. Das Matrix-Vektor-Produkt wird beispielsweise in der Matrixschreibweise linearer Gleichungssysteme verwendet. Matrixpotenzen werden beispielsweise zur Definition des Matrixexponentials und des Matrixlogarithmus verwendet. Eine Matrix kann binäre Matrixmultiplikation ist, sogar unendlich viele, Quadratwurzeln besitzen.

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Für spezielle Matrizen kann die Matrizenmultiplikation dennoch kommutativ sein, siehe die nachfolgenden Abschnitte. Für die Transponierte eines Binäre Matrixmultiplikation ist gilt.

Die Reihenfolge bei der Multiplikation wird durch die Transposition also vertauscht. Für die Adjungierte des Produkts komplexer Binäre Matrixmultiplikation ist gilt entsprechend. Mit dem Determinantenproduktsatz gilt auch für die Determinante des Binäre Matrixmultiplikation ist zweier quadratischer Matrizen über einem kommutativen Ring:.

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Wichtige Zerlegungen reeller oder komplexer Matrizen dieser Art sind:. Solche Zerlegungen von Matrizen werden häufig in der numerischen linearen Algebra etwa zur Lösung linearer Gleichungssysteme oder Eigenwertprobleme eingesetzt. In der Geometrie lässt sich beispielsweise auf diese Weise jede Drehung um den Ursprung und binäre Matrixmultiplikation ist Spiegelung an einer Ursprungsebene durch ein solches Matrix-Vektor-Produkt ausführen.

Die Abbildungsmatrix einer Hintereinanderausführung zweier linearer Abbildungen ist also das Matrizenprodukt der beiden zugehörigen Abbildungsmatrizen. Auf diese Weise lässt sich beispielsweise jede Drehspiegelung als Produkt binäre Matrixmultiplikation ist Drehmatrix und binäre Matrixmultiplikation ist Spiegelungsmatrix darstellen.

Alternativ kann eine lineare Abbildung auch durch Vektor-Matrix-Multiplikation eines Zeilenvektors mit der transponierten Abbildungsmatrix durchgeführt werden. Die Hintereinanderausführung von Abbildungen entspricht dann einer Matrizenmultiplikation binäre Matrixmultiplikation ist rechts statt von links.

See more Nullmatrix ist im Matrizenhalbring wieder das Nullelement und auch absorbierend, wenn das Nullelement im zugrunde liegenden Halbring absorbierend ist. Ist der zugrunde liegende Halbring unitär, dann bildet auch die Einheitsmatrix wieder das Binäre Matrixmultiplikation ist im Matrizenhalbring.

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